Question

15．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，漸近線方程是：$y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$，點(diǎn)A（0，b），且△AF₁F₂的面積為6．
（Ⅰ）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若線段PQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，漸近線方程是：$y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$，點(diǎn)A（0，b），且△AF₁F₂的面積為6，聯(lián)立方程組求得：a²=5，b²=4，由此能求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)為D（x₀，y₀），y=kx+m與$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$聯(lián)立，得（4-5k²）x²-10kmx-5m²-20=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、線線垂直的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題：$\frac{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，①…（1分）
${S_{△A{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}•2c•b=6$，②…（2分）
又a²+b²=c²，③…（3分）
由①②③聯(lián)立，解得：a²=5，b²=4．
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)為D（x₀，y₀），
y=kx+m與$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$聯(lián)立，消y，整理得（4-5k²）x²-10kmx-5m²-20=0，…（6分）
${x_1}+{x_2}=\frac{10km}{{4-5{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=-\frac{{5{m^2}+20}}{{4-5{k^2}}}$，…（7分）
由4-5k²≠0及△＞0，得$\left\{\begin{array}{l}4-5{k^2}≠0\\{m^2}-5{k^2}+4＞0\end{array}\right.$，④…（8分）
${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{5km}{{4-5{k^2}}}，{y_0}=k{x_0}+m=\frac{4m}{{4-5{k^2}}}$，
由題可知，AD⊥PQ，
于是${k_{AD}}=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}=\frac{{\frac{4m}{{4-5{k^2}}}-2}}{{\frac{5km}{{4-5{k^2}}}}}=-\frac{1}{k}$，
化簡得10k²=8-9m，⑤…（10分）
將⑤代入④解得$m＜-\frac{9}{2}$或m＞0，
又由⑤10k²=8-9m＞0，得$m＜\frac{8}{9}$，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是$\{m|m＜-\frac{9}{2}$，或$0＜m＜\frac{8}{9}$}．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查雙曲線、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理、線線垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．