Question

已知數(shù)列{b_n}，若存在正整數(shù)T，對(duì)一切n∈N^*都有b_n+r=b_n，則稱數(shù)列{b_n}為周期數(shù)列，T是它的一個(gè)周期．例如：
數(shù)列a，a，a，a，…①可看作周期為1的數(shù)列；
數(shù)列a，b，a，b，…②可看作周期為2的數(shù)列；
數(shù)列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期為3的數(shù)列…
（1）對(duì)于數(shù)列②，它的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是，試再寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列③的前n項(xiàng)和S_n；
（3）在數(shù)列③中，若a=2，b=，c=-1，且它有一個(gè)形如b_n=Asin（ωn+φ）+B的通項(xiàng)公式，其中A、B、ω、φ均為實(shí)數(shù)，A＞0，ω＞0，|φ|＜，求該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)列a，b，a，b，…可看作周期為2的數(shù)列，可寫出數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）數(shù)列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數(shù)列，故可分類得出結(jié)論；
（3）由題意，ω＞0，應(yīng)有，得ω=，于是b_n=Asin（n+φ）+B，把b₁=2，b₂=，b₃=-1，代入上式，即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵數(shù)列a，b，a，b，…可看作周期為2的數(shù)列；
∴a_n=等．（3分）
（2）數(shù)列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數(shù)列，所以當(dāng)n=3k+1時(shí)，；（5分）
當(dāng)n=3k+2時(shí)，；（7分）
當(dāng)n=3k+3時(shí)，（k∈N）．（9分）
（3）由題意，ω＞0，應(yīng)有，得ω=，（10分）
于是b_n=Asin（n+φ）+B，
把b₁=2，b₂=，b₃=-1，代入上式得（12分）
由（1）（2）可得Acosφ=，再代入（1）的展開(kāi)式，可得-φ+B=，與（3）聯(lián)立得B=，（13分）
Asinφ=-，于是tanφ=-
因?yàn)閨φ|＜，所以φ=-，（14分）
于是可求得A=．（15分）
故b_n=sin（）+（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定難度．