Question

已知數(shù)列{a_n}（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a₁，公比為q的等比數(shù)列．
（1）求和：a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明．
（3）設(shè)q≠1，S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求：S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ

Answer 1

（1）a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²=a₁-2a₁q+a₁q²
=a₁（1-q）²
a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁（1-q）²a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁-3a₁q+3a₁q²-a₁q³
=a₁（1-q）³；
（2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公比為q的等比數(shù)列，
則a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³++（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ，n為正整數(shù)
證明：a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰-a₁qC_n¹+a₁q²C_n²-a₁q³C_n³+…+（-1）ⁿa₁qⁿC_nⁿ
=a₁[C_n⁰-qC_n¹+q²C_n²-q³C_n³+…+（-1）ⁿqⁿC_nⁿ]
=a₁（1-q）ⁿ；
∴左邊=右邊，該結(jié)論成立．
（3）∵數(shù)列{a_n}（n為正整數(shù)）是首項(xiàng)是a₁，公比為q的等比數(shù)列，而且q≠1．
∴Sn=

a1-a1qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

，
∴S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ
=

a1

1-q

[（1-q）c_n⁰-（1-q²）c_n¹+（1-q³）c_n²-（1-q⁴）c_n³+…+（-1）ⁿ（1-qⁿ⁺¹）c_nⁿ]
=

a1

1-q

[

C

0n

-

C

1n

+

C

2n

-

C

3n

++(-1)n

C

nn

]-

a1q

1-q

[

C

0n

-q

C

1n

+q2

C

2n

-q3

C

3n

++(-1)nqn

C

nn

]
=

a1q

q-1

(1-q)n．