Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦點F（1，0），定點A（2，1），P為橢圓上一動點，則PA+3PF的最小值為7．

Answer 1

分析 通過橢圓右焦點F（1，0）可知橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，進而可知離心率e=$\frac{1}{3}$、準(zhǔn)線方程為x=±9，利用橢圓第二定義可知PA+3PF的最小值即為點A到右準(zhǔn)線的距離AB，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦點F（1，0），
∴m=8+1=9，即橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，準(zhǔn)線方程為：x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=±9，
由橢圓第二定義可知3PF即為點P到右準(zhǔn)線的距離，
從而PA+3PF的最小值即為點A到右準(zhǔn)線的距離AB，
又∵A（2，1），
∴AB=x_B-x_A=9-2=7，
故答案為：7．

點評 本題考查橢圓的第二定義，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．