Question

17．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，斜率為k的直線l過右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于M點(diǎn)，若$\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{B{F}_{2}}$．當(dāng)|k|≤2$\sqrt{6}$時(shí)，則橢圓的離心率的取值范圍是[$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓離心率為e，設(shè)F₂的坐標(biāo)為（c，0），設(shè)l的方程為y=kx+m，則可求得l與y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求得B點(diǎn)坐標(biāo)，帶橢圓方程求得e和k的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)k的范圍得出關(guān)于e的不等式，求得e的范圍．

解答 解：設(shè)橢圓離心率為e，設(shè)F₂的坐標(biāo)為（c，0），其中c²=a²-b²，
設(shè)l的方程為y=kx+m，則l與y軸的交點(diǎn)為（0，m），m=-kc，
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{c}{2}$，-$\frac{kc}{2}$），將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)e²+$\frac{{k}^{2}}{\frac{1}{{e}^{2}}-1}$=4，
所以k²=（4-e²）•（$\frac{1}{{e}^{2}}$-1）≤24，即e⁴-29e²+4≤0，解之可得，$\frac{29-5\sqrt{31}}{2}$≤e²≤$\frac{29+5\sqrt{31}}{2}$，
又有橢圓的性質(zhì)，所以$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$≤e＜1，
因此橢圓C的離心率取值范圍為[$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$，1）．
故答案為：[$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化．