Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD的中點G，連接FG，GA，由G、F分別是PD、PC的中點，知GF∥DC，GF=DC，由E是AB中點，AE=AB，矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，知四邊形AEFG是平行四邊形，由此能夠證明EF∥平面PDA．
（2）由底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，知AB⊥平面PAD，故四棱錐P-ABCD的 外接球即以DP，DA，DC為棱的長方體的外接球．由此能求出四棱錐P-ABCD外接球的表面積．
解答：（1）證明：取PD的中點G，連接FG，GA，由G、F分別是PD、PC的中點，知GF是△PDC的中位線，
GF∥DC，GF=DC，
E是AB中點，AE=AB，
矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，
∴GF∥AE，GF=AE?…（3分）
∴四邊形AEFG是平行四邊形，EF∥AG，
EF在平面PDA外，AG在平面PDA內(nèi)，
∴EF∥平面PDA．…（6分）
（2）解：∵底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，
∴AB⊥AD，AB⊥PD，
∴AB⊥平面PAD，
∴四棱錐P-ABCD的 外接球即以DP，DA，DC為棱的長方體的外接球．
∴R=，
∴S=4πR²=6π．…（12分）
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的外接球的表面積的求法．解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．