Question

6．如圖，在梯形ADEB中，AB∥DE，AD=DE=2AB，△ACD是正三角形，AB⊥平面ACD，且F是CD的中點．
（1）判斷直線AF與平面BCE的位置關(guān)系并加以證明；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）取CE的中點P，連接BP，F(xiàn)P，通過證明四邊形ABPF是平行四邊形得出AF∥BP，從而有AF∥平面BCE；
（2）延長EB，交DA延長線于O，證明OC⊥CD，OC⊥DE即可得出OC⊥CE，于是∠DCE為所求二面角的平面角．

解答 解：（1）AF∥平面BCE，證明如下：
取CE的中點P，連接BP，F(xiàn)P，
∵F是CD的中點，P是CE的中點，
∴PF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，又AB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$PF，
∴四邊形ABPF是平行四邊形，
∴AF∥BP，又AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）設(shè)EB，DA的延長線交于點O，連接OC，
則OC為平面ACD和平面BCE的交線，
設(shè)AB=1，則AD=DE=CD=AC=2，
∵AB∥DE，∴$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴OD=4，又∠CDA=60°，
∴OC=$\sqrt{16+4-2×4×2×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OC²+CD²=OD²，∴OC⊥CD，
∵AB⊥平面ACD，OC?平面ACD，
∴AB⊥OC，又AB∥DE，
∴DE⊥OC，又CD?平面CDE，DE?平面CDE，CD∩DE=D，
∴OC⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴OC⊥CE，
∴∠DCE為平面BCE與平面ACD所成銳二面角的平面角，
∵CD=DE，DE⊥CD，
∴∠DCE=45°，
∴平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°．

點評 本題考查了線面平行的判定，二面角的計算，也可用空間向量知識解出，屬于中檔題．