Question

在中央電視臺“開心辭典”欄目有一道試題，給出了文房四寶（宣筆、徽墨、宣紙、歙硯）和它們的原產(chǎn)地（記為A、B、C、D），要求挑戰(zhàn)者把文房四寶和對應(yīng)的產(chǎn)地在答題板上用筆一對一地連起來，每正確連對一組得2分，連錯(cuò)不得分，得分4分及以上可以參加下一關(guān)的挑戰(zhàn)．
（1）求挑戰(zhàn)者得2分的概率．
（2）求挑戰(zhàn)者所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）從4對文房四寶和對應(yīng)的產(chǎn)地完全正確的選取一對，而其余三隊(duì)完全配對錯(cuò)誤的方法只有2種，據(jù)此利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（2）利用排列的計(jì)算公式、分類討論、概率的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望即可得出．
解答：解：（1）記挑戰(zhàn)者得2分為事件E，則從4對文房四寶和對應(yīng)的產(chǎn)地完全正確的選取一對，而其余三隊(duì)完全配對錯(cuò)誤的方法只有2種，故P（E）==．
（2）挑戰(zhàn)者所得分?jǐn)?shù)ξ可取0，2，4，8．
對產(chǎn)地A，B，C，D的全排列共有4！=24，其中①文房四寶和對應(yīng)的產(chǎn)地完全正確一對一地連起來只有一種方法，即得8分的P（ξ=8）=；
②文房四寶和對應(yīng)的產(chǎn)地只有2對正確地連起來的方法共有=6種，故P（ξ=4）==；
③由（1）可知：P（ξ=2）=；
④由概率的規(guī)范性可得P（ξ=0）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）-P（ξ=8）==．
故其分布列如下：

ξ		2	4	8
P

∴Eξ=0=2．
點(diǎn)評：熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式、排列的計(jì)算公式、分類討論、概率的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．