Question

1．光明超市某種商品11月份（30天，11月1日為第一天）的銷售價格P（單位：元）與時間t（單位：天，其中）組成有序?qū)崝?shù)對（t，P），點（t，P）落在如圖所示的線段上．該商品日銷售量Q（單位：件）與時間t（單位：天，其中t∈N）滿足一次函數(shù)關(guān)系，Q與t的部分數(shù)據(jù)如表所示．

第t天	10	17	21	30
Q（件）	180	152	136	100

（1）根據(jù)圖象寫出銷售價格與時間t的函數(shù)關(guān)系式P=f（t）．
（2）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出日銷售量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系式Q=g（t）．
（3）設日銷售額為M（單位：元），請求出這30天中第幾日M最大，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）設f（t）=kt+b，由圖象過點（0，14），（30，29），解得k，b的值，可得銷售價格與時間t的函數(shù)關(guān)系式P=f（t）．
（2）由t，Q滿足一次函數(shù)關(guān)系可設g（t）=at+m，由表格值代入求得t，m的值，可得日銷售量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系式Q=g（t）．
（3）由（1）（2）可得日銷售額為M的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得最大值．

解答 （本題滿分15分）
解：（1）設f（t）=kt+b，由圖象過點（0，14），（30，29）得：
$\left\{\begin{array}{l}b=14\\ 30k+b=29\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=14\\ k=\frac{1}{2}\end{array}\right.$-----------------（2分）
∴$P=f（t）=\frac{1}{2}t+14（1≤t≤30，t∈N）$---------------（1分）
評分建議：若定義域沒有寫，或定義域?qū)戝e，或t∈N沒有寫，扣（1分）
（2）由t，Q滿足一次函數(shù)關(guān)系可設g（t）=at+m
由表格可得：$\left\{\begin{array}{l}10t+m=180\\ 30t+m=100\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}t=-4\\ m=220\end{array}\right.$-------------（2分）
∴Q=g（t）=-4t+220（1≤t≤30，t∈N）-------------------（1分）
評分建議：若定義域沒有寫，或定義域?qū)戝e，或t∈N沒有寫，扣（1分）
（3）$M=P•Q=（\frac{1}{2}t+14）（-4t+220）$
$\begin{array}{l}=-2{t^2}+54t+3080\\=-2（{t^2}-27t-1540）\end{array}$------------------------（2分）
$\begin{array}{l}=-2{（t-\frac{27}{2}）^2}+\frac{6889}{2}\\=-2{（t-13.5）^2}+3444.5\end{array}$
∵t∈N
∴當t=13或t=14時，M有最大值，------------------------（4分）
且最大值為3444元．------------------（2分）
答：這30天中第13日或第14日M最大，最大值為3444元．-------------（1分）
評分建議：（1）M只寫到“$M=P•Q=（\frac{1}{2}t+14）（-4t+220）$”這一步，也得（2分）．
（2）若“t=13或t=14”兩個中少寫一個，扣（2分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應用，分段函數(shù)的應用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．