Question

已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知與增函數(shù)的定義即可得出；
（2）由于f（x）為增函數(shù)，可得f（x）的最大值為f（1）=1．f（x）≤t²-2at+1對a∈[-1，1]，x∈[-1，1]恒成立?t²-2at+1≥1對任意a∈[-1，1]恒成立?t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立．看作a的一次函數(shù)，即可得出．

解答： 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，則
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

•（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）是增函數(shù)．  
（2）由于f（x）為增函數(shù)，∴f（x）的最大值為f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1對a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立?t²-2at+1≥1對任意a∈[-1，1]恒成立?t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立．
把y=t²-2at看作a的函數(shù)，
由a∈[-1，1]知其圖象是一條線段，
∴t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立
?

t2-2×(-1)t≥0 t2-2×1×t≥0

，解得

t≤-2或t≥0 t≤0或t≥2

解得：t≤-2，或t=0，或t≥2．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、一次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．