Question

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象，它與y軸的交點(diǎn)為（0，

3

2

），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心．
（3）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

（1）由題意可得A=3，由在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）得

T

2

=x0+2π-x0=2π，
∴T=4π從而ω=

1

2

又圖象與y軸交于點(diǎn)(0，

3

2

)，
∴

3

2

=3sinφ?sinφ=

1

2

由于|φ|＜

π

2

)，
∴φ=

π

6

函數(shù)的解析式為f(x)=3sin(

1

2

x+

π

6

)
（2）因?yàn)?span mathtag="math" >

1

2

x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，所以x∈[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)；
因?yàn)?span mathtag="math" >

1

2

x+

π

6

=kπ   k∈Z，解得x=-

π

3

+2kπ，(k∈Z)，所以函數(shù)的對(duì)稱中心：(

π

3

+2kπ，0)(k∈Z)
（3）將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，再將所得函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍，最后將所得函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍得到函數(shù)y=3sin(

1

2

x+

π

6

)的圖象．