Question

（12分）（2011•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=，一條準線的方程為x=2．

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設動點P滿足，其中M，N是橢圓上的點．直線OM與ON的斜率之積為﹣．
問：是否存在兩個定點F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．若存在，求F₁，F₂的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

解析試題分析：（Ⅰ）根據離心率和準線方程求得a和c，則b可得，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設出P，M，N的坐標，根據題設等式建立等式，把M，N代入橢圓方程，整理求得x²+2y²20+4（x₁x₂+2y₁y₂），設出直線OM，ON的斜率，利用題意可求得x₁x₂+2y₁y₂=0，進而求得x²+2y²的值，利用橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值求得c，則兩焦點坐標可得．
解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=
∴b==
∴橢圓的方程為：
（Ⅱ）設P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵點M，N在橢圓上，所以
，
故x²+2y²=（x₁²+4x₂²+4x₁x₂）+2（y₁²+4y₂²+4y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）
設k_0M，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，根據題意可知k_0Mk_ON=﹣
∴x₁x₂+2y₁y₂=0
∴x²+2y²=20
所以P在橢圓上；
設該橢圓的左，右焦點為F₁，F₂，由橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值，因為c=，則這兩個焦點坐標是（﹣，0）（，0）
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．考查了學生分析問題和解決問題的能力．