Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且．
（Ⅰ）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)N為棱B₁C₁的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA₁B₁B內(nèi)，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求線段BM的長．

Answer 1

【答案】分析：方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求出中的有關(guān)向量，然后求出異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）利用求出平面AA₁C₁的法向量，通過求出平面A₁B₁C₁的法向量，然后利用求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)N為棱B₁C₁的中點(diǎn)，設(shè)M（a，b，0），利用MN⊥平面A₁B₁C₁，結(jié)合求出a，b，然后求線段BM的長．
方法二：（I）說明∠C₁A₁B₁是異面直線AC與A₁B₁所成的角，通過解三角形C₁A₁B₁，利用余弦定理，．
求出異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為．
（II）連接AC₁，過點(diǎn)A作AR⊥A₁C₁于點(diǎn)R，連接B₁R，說明∠ARB₁為二面角A-A₁C₁-B₁的平面角．連接AB₁，在△ARB₁中，通過，
求出二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值為．
（III）首先說明MN⊥A₁B₁．取HB₁中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B₁C₁中點(diǎn)，推出ND⊥A₁B₁．證明A₁B₁⊥平面MND，連接MD并延長交A₁B₁于點(diǎn)E，延長EM交AB于點(diǎn)F，
連接NE．連接BM，在Rt△BFM中，求出．
解答：方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)．
依題意得

（I）解：易得，
于是，
所以異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為．
（II）解：易知．
設(shè)平面AA₁C₁的法向量=（x，y，z），
則即
不妨令，可得，
同樣地，設(shè)平面A₁B₁C₁的法向量=（x，y，z），
則即不妨令，
可得．
于是，
從而．
所以二面角A-A₁C₁-B的正弦值為．
（III）解：由N為棱B₁C₁的中點(diǎn)，
得．設(shè)M（a，b，0），
則
由MN⊥平面A₁B₁C₁，得
即
解得故．
因此，所以線段BM的長為．
方法二：
（I）解：由于AC∥A₁C₁，故∠C₁A₁B₁是異面直線AC與A₁B₁所成的角．
因?yàn)镃₁H⊥平面AA₁B₁B，又H為正方形AA₁B₁B的中心，，
可得A₁C₁=B₁C₁=3．

因此．
所以異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為．
（II）解：連接AC₁，易知AC₁=B₁C₁，
又由于AA₁=B₁A₁，A₁C₁=A₁C₁，
所以△AC₁A₁≌△B₁C₁A₁，過點(diǎn)A作AR⊥A₁C₁于點(diǎn)R，
連接B₁R，于是B₁R⊥A₁C₁，故∠ARB₁為二面角A-A₁C₁-B₁的平面角．
在Rt△A₁RB₁中，．
連接AB₁，在△ARB₁中，=，
從而．
所以二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值為．
（III）解：因?yàn)镸N⊥平面A₁B₁C₁，所以MN⊥A₁B₁．
取HB₁中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B₁C₁中點(diǎn)，
所以ND∥C₁H且．
又C₁H⊥平面AA₁B₁B，
所以ND⊥平面AA₁B₁B，故ND⊥A₁B₁．
又MN∩ND=N，
所以A₁B₁⊥平面MND，連接MD并延長交A₁B₁于點(diǎn)E，
則ME⊥A₁B₁，故ME∥AA₁．
由，
得，延長EM交AB于點(diǎn)F，
可得．連接NE．
在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND²=DE•DM．
所以．
可得．
連接BM，在Rt△BFM中，．
點(diǎn)評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．