Question

17．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，D為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，DF₁的延長線與橢圓相交于G．△DGF₂的周長為8，|DF₁|=3|GF₁|．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的左頂點(diǎn)A作橢圓E的兩條互相垂直的弦AB、AC，試問直線BC是否恒過定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角形的周長求出a的值，設(shè)G（x₀，y₀），求出b，c的值，從而求出橢圓E的方程即可；
（Ⅱ）分別設(shè)出AB，AC的斜率，聯(lián)立直線和圓的方程組，分別求出B、C的坐標(biāo)，求出直線BC的方程，從而求出直線恒過的定點(diǎn)即可．

解答 解：（Ⅰ）由△DGF₂的周長是8，得：4a=8，解得：a=2，
由|DF₁|=3|GF₁|且G在DF₁的延長線上，
得$\overrightarrow{DG}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{{DF}_{1}}$，設(shè)G（x₀，y₀），
則（x₀，y₀-b）=$\frac{4}{3}$（-c，-b），x₀=-$\frac{4}{3}$c，y₀=-$\frac{1}{3}$b，
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，解得：c²=2，
∴b²=2，橢圓E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）A（-2，0），直線AB、AC均有斜率，
設(shè)AB：y=k（x+2），AC：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$，得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-4=0，
解得：x₁=-2，x₂=-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，
當(dāng)x₂=-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$時(shí)，y₂=$\frac{4k}{{2k}^{2}+1}$
∴B（-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，$\frac{4k}{{2k}^{2}+1}$），
同理C（$\frac{{2k}^{2}-4}{{k}^{2}+2}$，-$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$），
直線BC的方程是3kx+2（k²-1）y+2k=0，
直線BC恒過定點(diǎn)（-$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了求橢圓方程問題，考查直線和橢圓的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．