Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）+f（4-x）的值；
（2）猜測函數(shù)f（x）的圖象具備怎樣的對稱性，并給出證明；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與直線x=1，x=3及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，求S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）=4+=4．
（2）關(guān)于點(diǎn)P（2，2）對稱．證明：設(shè)Q（x，y）為函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)，若Q點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為Q₁（x₁，y₁），則⇒．由此能夠證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（2，2）對稱．
（3），f（3）=3+log₃3=4．由對稱性可求出函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=1，x=3
及x軸所圍成封閉圖形的面積S．
解答：解：（1）
=4+=4 （4分）
（2）關(guān)于點(diǎn)P（2，2）對稱  （6分）
證明：設(shè)Q（x，y）為函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)，
若Q點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為Q₁（x₁，y₁），
則⇒（8分）=y₁（10分）
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（2，2）對稱  （11分）
（3）（可以作圖示意），
f（3）=3+log₃3=4（13分）
由對稱性可知，
函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=1，x=3
及x軸所圍成封閉圖形的面積
S=（16分）．
點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．