Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a∈R且a≠0）．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}，-∞$）上是增函數(shù)，在（-1，$\frac{1}{3}$）上是減函數(shù)，求a的值；
（2）討論函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}-\frac{3}{a}$lnx的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性得出f′（x）=0的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的共線求出a的值；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值，判斷導(dǎo)數(shù)g′（x）的正負(fù)，從而得出g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a∈R且a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2x-a；
當(dāng)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}，-∞$）上是增函數(shù)，在（-1，$\frac{1}{3}$）上是減函數(shù)時(shí)，
方程f′（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根-1和$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{2}{3a}$=-1+$\frac{1}{3}$，解得a=1；
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}-\frac{3}{a}$lnx=ax²+x-a-$\frac{3}{a}$lnx，
則g′（x）=2ax+1-$\frac{3}{ax}$=$\frac{2{{a}^{2}x}^{2}+ax-3}{ax}$（x＞0，且a≠0）；
令g′（x）=0，則$\frac{（ax-1）（ax+3）}{ax}$=0，解得x=$\frac{1}{a}$或x=-$\frac{3}{a}$；
當(dāng)a＞0時(shí)，-$\frac{3}{a}$＜0＜$\frac{1}{a}$，
所以x∈（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）是單調(diào)減函數(shù)，
x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}$＜0＜-$\frac{3}{a}$，
所以x∈（0，-$\frac{3}{a}$）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）是單調(diào)增函數(shù)；
x∈（-$\frac{3}{a}$，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）是單調(diào)減函數(shù)；
綜上，a＞0時(shí)，g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$），a＜0時(shí)，g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-$\frac{3}{a}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，也考查了根與系數(shù)的關(guān)系與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．