Question

14．已知a＞0，命題p：|a-m|＜$\frac{1}{2}$，命題q：橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1的離心率e滿足e∈（${\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}$）．
（1）若q是真命題，求實(shí)數(shù)a取值范圍；
（2）若p是q的充分條件，且p不是q的必要條件，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，需要分類討論，即可求出a的范圍，
（2）根據(jù)p是q的充分條件，且p不是q的必要條件．得到關(guān)于m的不等式組，解得即可．

解答 解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，∵${e^2}=1-\frac{1}{a^2}，\frac{3}{4}＜{e^2}＜\frac{8}{9}$-，∴$\frac{1}{9}＜\frac{1}{a^2}＜\frac{1}{4}$，∴2＜a＜3，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵e²=1-a²，∴$\frac{3}{4}$＜e²＜$\frac{8}{9}$，∴$\frac{3}{4}$＜1-a²＜$\frac{8}{9}$，∴$\frac{1}{9}$＜a²＜$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$，
綜上所述$a∈（{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）∪（{2，3}）$
（2）∵$|{a-m}|＜\frac{1}{2}$，∴$m-\frac{1}{2}＜a＜m+\frac{1}{2}$，則題意可知$\left\{{\begin{array}{l}{m-\frac{1}{2}≥\frac{1}{3}}\\{m+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m-\frac{1}{2}≥2}\\{m+\frac{1}{2}≤3}\end{array}}\right.$，解得m∈ϕ或$m=\frac{5}{2}$，經(jīng)檢驗(yàn)，$m=\frac{5}{2}$滿足題意，
綜上$m=\frac{5}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．