Question

已知f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

），g（x）=

3

cos2x．
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若一動直線x=t與函數(shù)y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于M，N兩點，求|MN|的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,復合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f（x）解析式，再求出h（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間求出函數(shù)h（x）的增區(qū)間；
（Ⅱ）由題意先求出|MN|再由兩角差的正弦公式化簡，由正弦函數(shù)的最大值求出|MN|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）
=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

+sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

=2sin2xcos

π

3

=sin2x，（1分）
又g（x）=

3

cos2x，所以h（x）=f（x）g（x）=

3

sin2xcos2x
=

3

2

sin4x，（2分）
由-

π

2

+2kπ≤4x≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得，-

π

8

+

kπ

2

≤x≤

π

8

+

kπ

2

（k∈Z），
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

π

8

+

kπ

2

，

π

8

+

kπ

2

)，（k∈Z）（4分）
（2）由題意得，|MN|=|f（t）-g（t）|=|sin2t-

3

cos2t|（5分）
=|2sin（2t-

π

3

）|，（7分）
所以|MN|的最大值為2．（8分）

點評：本題考查了兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值問題．