Question

12．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AC}$=（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$，2cos$\frac{x}{2}$）．
（Ⅰ）設(shè)f（x）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，函數(shù)f（x）是否有最小值，求△ABC面積；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和二倍角公式花間f（x），利用余弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的周期和單調(diào)區(qū)間；
（II）根據(jù)x的范圍得出f（x）的單調(diào)性，從而得出f（x）的最值及其對應(yīng)的x的值，利用向量法求出AC，BC，∠ACB，代入面積公式即可求出三角形的面積．

解答 解：（I）f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期為T=2π．
令2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，解得-$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[-$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{3π}{4}$+2kπ]．k∈Z．
（II）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值$\sqrt{2}×$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1．
此時(shí)，$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，$\sqrt{2}$），
∴|$\overline{AC}$|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×|AC|×|BC|×sin∠ACB$=1．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．