Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=4x上相異兩點(diǎn)，且滿足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），求直線A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，△AMB的面積的最大值及此時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：方法一：
（I）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，與y²=4x聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合x₁+x₂=2可求得直線AB的方程為y=k（x-1）+，而AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），可求得AB的斜率，從而可求直線AB的方程；
（Ⅱ）依題意，直線AB的方程為k²x-ky+2-k²=0，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得點(diǎn)M到直線AB的距離d，聯(lián)立AB的方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得|AB|，于是可得到面積表達(dá)式，通過(guò)導(dǎo)數(shù)法即可求得△AMB的面積的最大值及此時(shí)直線AB的方程；
法二：（Ⅰ）設(shè)AB的中點(diǎn)為Q（1，t），可求得k_AB=，由（t-2）•=-1，可求得t繼而可得直線AB的方程為y=x-；
（Ⅱ）依題意可得直線AB的方程，繼而可求點(diǎn)M到直線AB的距離為d==，從而可得面積表達(dá)式，利用基本不等式即可求得△AMB的面積的最大值及此時(shí)直線AB的方程．
解答：解：方法一：
（I）當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，顯然不符合題意，
所以設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入方程y²=4x得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0
∴x₁+x₂==2，…（2分）
得：b=-k，
∴直線AB的方程為y=k（x-1）+，
∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）    …（4分）
∴AB的中垂線方程為y=-（x-1）+=-x+，
∵AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），故=2，得k=      …（6分）
∴直線AB的方程為y=x-，…（7分）
（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂線方程為y=-x+，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）…（8分）
因?yàn)橹本�AB的方程為k²x-ky+2-k²=0，
∴M到直線AB的距離d==      …（10分）
由得y²-ky+2-k²=0，
y₁+y₂=，y₁y₂=，
|AB|=|y₁-y₂|=            …（12分）
∴S_△AMB=4（1+），設(shè)=t，則0＜t＜1，
S=4t（2-t²）=-4t³+8t，S′=-12t²+8，由S′=0，得t=，
即k=±時(shí)S_max=，
此時(shí)直線AB的方程為3x±y-1=0．…（15分）
（本題若運(yùn)用基本不等式解決，也同樣給分）
法二：
（1）根據(jù)題意設(shè)AB的中點(diǎn)為Q（1，t），則k_AB==      …（2分）
由P、Q兩點(diǎn)得AB中垂線的斜率為k=t-2，…（4分）
由（t-2）•=-1，得t=，…（6分）
∴直線AB的方程為y=x-，…（7分）
（2）由（1）知直線AB的方程為y-t=（x-1），…（8分）
AB中垂線方程為y-t=-（x-1），中垂線交x軸于點(diǎn)M（3，0），
點(diǎn)M到直線AB的距離為d==，…（10分）
由得：4x²-8x+（t²-2）²=0，
∴|AB|=|x₁-x₂|=，x₁+x₂=2，x₁x₂=
∴S=|AB|•d==≤=，
當(dāng)t²=時(shí)，S有最大值，此時(shí)直線AB方程為3x±y-1=0…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查：直線的一般式方程，考查：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，突出考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于難題．