Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（a∈R且a≠0），試求函數(shù)f（x）的極大值與極小值．

Answer 1

分析：先求f′（x）=0的值，發(fā)現(xiàn)需要討論a的正負，分別判定在f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極大值點與極小值點，求出極值．

解答：解：由題設(shè)知a≠0，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0得x=0或x=

2

a

．
當a＞0時，隨x的變化，f′（x）與f（x）的變化如下表：

∴f（x）_極大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_極小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1．
當a＜0時，隨x的變化，f′（x）與f（x）的變化如下表：

∴f（x）_極大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_極小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1．
總之，當a＞0時，f（x）_極大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_極小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1；
當a＜0時，f（x）_極大值=f（0）=1-

3

a

，
f（x）_極小值=f（

2

a

）=-

4

a2

-

3

a

+1．

點評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極值，考查利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．