Question

4．為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測算，該項(xiàng)目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5040x，x∈[120，144）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000，x∈[144，500]}\end{array}\right.$且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國家將給予補(bǔ)償．
（1）當(dāng)x∈[200，300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？
（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析 （1）設(shè)獲得利潤為f（x）=200x-（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-200x+80000）=$-\frac{1}{2}（x-400）^{2}$，x∈[200，300]．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）設(shè)每噸的平均處理成本為g（x），
①x∈[120，144）時(shí)，g（x）=$\frac{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5040x}{x}$=$\frac{1}{3}{x}^{2}-80x$+5040=$\frac{1}{3}$（x-120）²+240．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最小值．
②①x∈[144，500]時(shí)，g（x）=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000}{x}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{80000}{x}$-200，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值．

解答 解：（1）設(shè)獲得利潤為f（x）=200x-（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-200x+80000）=$-\frac{1}{2}（x-400）^{2}$，x∈[200，300]．
f（200）=-20000，f（3000）=-5000．
∵f（x）在x∈[200，300]上單調(diào)遞增，∴f（x）∈[-5000，-20000]．
可知不獲利，則國家每月至少需要補(bǔ)貼20000元才能使該項(xiàng)目不虧損．
（2）設(shè)每噸的平均處理成本為g（x），
①x∈[120，144）時(shí)，g（x）=$\frac{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5040x}{x}$=$\frac{1}{3}{x}^{2}-80x$+5040=$\frac{1}{3}$（x-120）²+240．
可得函數(shù)g（x）在x∈[120，144）時(shí)單調(diào)遞增，因此x=120時(shí)，g（x）取得最小值，g（120）=240．
②①x∈[144，500]時(shí)，g（x）=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000}{x}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{80000}{x}$-200≥$2\sqrt{\frac{x}{2}×\frac{80000}{x}}$-200=200．
當(dāng)且僅當(dāng)x=200時(shí)取等號．
即可得函數(shù)g（x）在x∈[144，500]時(shí)，x=200時(shí)，g（x）取得最小值，g（200）=200．
綜上可得：該項(xiàng)目每月處理量為200噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．