Question

已知函數f（x）=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g（x）=-ax+1．
（1）曲線f（x）在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的單調區(qū)間．
（3）若a＞0，在區(qū)間（1，

1

2

]至少存在一個實數x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為直線3x-y=1的斜率為3，曲線f（x）在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，得到f′（1）=3，即可得到關于a的一元二次方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）當a等于0時，得到f（x）等于常數為增減性；當a不等于0時，把導函數分解因式，求出導函數為0時x的值，利用x的值討論導函數的正負即可得到相應范圍函數的單調區(qū)間；
（3）設F（x）等于f（x）-g（x），求出F′（x）判斷其符號在區(qū)間（1，

1

2

]上恒大于0得到F（x）為增函數，所以F（x）的最大值為F（

1

2

），要使存在一個實數x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立即要F（

1

2

）大于0，代入列出關于a的不等式，求出解集即可得到a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=a²x²-2ax
則f′（1）=3即a²-2a-3=0，（a-3）（a+1）=0
解得a=-1或a=3；

（2）當a≠0時，f′（x）=a²x（x-

2

a

）
①a＞0時，當x∈（-∞，0），f′（x）＞0；0＜x＜

2

a

，f′（x）＜0；

2

a

＜x時，f′（x）＞0
②a＜0時，當x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＞0；

2

a

＜x＜0時，f′（x）＜0；x＞0時，f′（x）＞0
而當a=0時，f（x）=

2

3

，函數f（x）無單調性．
綜上，a=0時f（x）無單調性；a＞0時，f（x）在（-∞，0）單調增，在（0，

2

a

）上單調減，（

2

a

，+∞）上單調增；
a＜0時，f（x）在（-∞，-

2

3

）單調增，在（-

2

3

，0）上單調減，（0，+∞）上單調增；

（3）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a²x³-ax²+ax-

1

3

，則F′（x）=a²x²-2ax+a=a（ax²-2x+1）=a[ax²+（1-2x）]
∵a＞0，x∈（0，

1

2

]
∴F′（x）＞0∴F（x）在（0，

1

2

]上單調遞增，所以F（x）_max=F（

1

2

）
若存在x₀∈（0，

1

2

]使f（x₀）＞g（x₀）成立，只需F（x）_max＞0即F（

1

2

）＞0．
代入得

1

3

a²(

1

2

)3-a(

1

2

)2+a•

1

2

-

1

3

＞0
化簡得a²+6a-8＞0，
解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）
∴a的范圍是（-3+

17

，+∞）．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的增減性及根據函數的增減性得到函數的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道比較難的題．