Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）=f（1-x）對任意的x∈R恒成立，且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²．
（1）求證：f（x）是以2為周期的函數(shù)（不需要證明2是f（x）的最小正周期）；
（2）對于整數(shù)k，當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]時，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）對于整數(shù)k，記M_k={a|f（x）=ax在x∈[2k-1，2x+1]有兩個不等的實數(shù)根}，求集合M₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）因為f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）可得結(jié)論．
（2）先求出x∈[-1，1]時，f（x）=x²，設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]，根據(jù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x）可求解．
（3）將方程f（x）=ax轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)根的分布求a的取值集合．

解答 解：（1）因為f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：f（x）是以2為周期的函數(shù)；
（2）∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)
∴當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=x²，
∴x∈[-1，1]時，f（x）=x²，
∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=（x-2k）²，
即f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z），
（3）當(dāng)k∈N^*，且x∈I_k 時，方程f（x）=ax化簡為x²-（4k+a）x+k²=0，
設(shè)g（x）=x²-（4k+a）x+k²，使方程f（x）=ax在I_k上有兩個不相等的實數(shù)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{△=a（a+8k）＞0}\\{2k-1＜\frac{k+a}{2}≤2k+1}\\{g（2k-1）=1-2ak+a＞0}\\{g（2k+1）=1-2ak-a≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{2k+1}$，
當(dāng)k=2015時，
∴集合M₂₀₁₅=（0，$\frac{1}{4031}$]

點評 本題主要考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及二次方程根的分布問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．