Question

12．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，設(shè)點(diǎn)A（0，a）（a＞0），若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=$\sqrt{2}$MO，則a的取值范圍$\sqrt{3}$≤a≤4+$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₀，y₀），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理可得M在以（-1，2）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓上，則由兩圓有公共點(diǎn)的條件可得圓心距離介于半徑之和與半徑之差的絕對值之間，解不等式即可得到r的范圍．

解答 解：圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，即圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，表示以C（-1，2）為圓心、半徑等于$\sqrt{2}$的圓．
設(shè)M（x₀，y₀），則由MA=$\sqrt{2}$MO，A（0，a），O（0，0），
可得（x₀-0）²+（y₀-a）²=2（x₀²+y₀²），即3x₀²+3y₀²+2ay₀-a²=0，即x₀²+（y₀+a）² =2a²．
則M在以（0，-a）為圓心，r=$\sqrt{2}$a為半徑的圓上．
又點(diǎn)M在圓C上，則這兩個圓有交點(diǎn)，即圓心之間的距離d滿足：|r-$\sqrt{2}$|≤d≤r+$\sqrt{2}$，
即|$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$|≤$\sqrt{{（0+1）}^{2}{+（-a-2）}^{2}}$≤$\sqrt{2}$a+$\sqrt{2}$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（\sqrt{2}a-\sqrt{2}）}^{2}≤1{+（a+2）}^{2}}\\{1{+（a+2）}^{2}{≤（\sqrt{2}a+\sqrt{2}）}^{2}}\end{array}\right.$，
求得$\sqrt{3}$≤a≤4+$\sqrt{19}$，
故答案為：$\sqrt{3}≤a≤4+\sqrt{19}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程的求法，考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，考查不等式的解法，屬于中檔題．