Question

20．如圖．在四棱錐S一ABCD中，側(cè)棱SA=SB=SC=SD．底面ABcD是菱形．AC與BD交于O點．
（1）求證：AC⊥平面SBD；
（2）若E為BC中點，點P在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動，并保持PE⊥AC，試指出動點P的軌跡．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，由等腰三角形性質(zhì)得AC⊥SO，由此能證明AC⊥面SBD；
（2）點P的軌跡是△SCD的中位線FG，利用平面EFG∥平面ABD，AC⊥平面SBD，得出AC⊥平面EFG，從而證明AC⊥FG，點P在FG上．

解答 解：（1）證明：∵底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點，
∴AC⊥BD，O是AC中點，
連結(jié)SO，
∵SA=SC，∴AC⊥SO，
∵SO∩BD=O，
∴AC⊥平面SBD；
（2）取CS、CD的中點F、G，連接EF、EG、FG，
∵E為BC中點，∴EF∥BS，
又EF?平面SBD，BS?平面SBD，
∴EF∥平面SBD；
同理，F(xiàn)G∥平面SBD，
又EF∩FG=F，
EF?平面，F(xiàn)G?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABD；
又AC⊥平面SBD，
∴AC⊥平面EFG；
又FG?平面EFG，∴AC⊥FG，∴點P∈FG

∴點P的軌跡是△SCD的中位線FG．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與證明能力，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，是綜合性題目．