Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（2-a）（x-1）-2f（x）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，

1

2

），g（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的最小值；
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意不同兩點，線段AB中點為C（x₀，y₀），直線AB的斜率為k．證明k＞f′（x₀）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=1時求出g′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0，從而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意的x∈（0，

1

2

）恒成立，等價于對x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，利用導數(shù)即可求得最值；
（Ⅲ）求出直線AB的斜率為k和f′（x₀），整理后把證明k＞f′（x₀）轉(zhuǎn)化為證明

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

．構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），利用導數(shù)證明該函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)證得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，g（x）=x-1-2lnx，則g′（x）=1-

2

x

，
由g′（x）＞0，x＞2；g′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；
（Ⅱ）對任意的x∈（0，

1

2

），g（x）＞0恒成立，即對x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令l（x）x=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
則l′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令m（x）=21nx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），則m′（x）=-

2

x2

+

2

x

=

-2(1-x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上為減函數(shù)，
于是m（x）＞m（

1

2

）=2-2ln2＞0，
從而，l′（x）＞0，于是l （x）在（0，

1

2

）上為增函數(shù)，
所以l（x）＜l（

1

2

）=2-41n2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只需a≥2-41n2．
∴a的最小值為2-4ln2；
（Ⅲ）證明：不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，
則k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

，f′（x₀）=f′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，
證明k＞f′（x₀）轉(zhuǎn)化為證明

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

，
即證明ln

x1

x2

-

2(x1-x2)

x1+x2

＞0，令x=

x1

x2

，（x＞1），得：lnx-

2(x-1)

x+1

＞0
令h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），則h′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

．
∴h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（1）=0．
∴k＞f′（x₀）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)最值，考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．