Question

15．如圖1，平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，BC=AC=1，現(xiàn)將△DAC沿AC折起，得到三棱錐D-ABC（如圖2），且DA⊥BC，點(diǎn)E為側(cè)棱DC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面DBC；
（Ⅱ）求三棱錐E-ABC的體積；
（Ⅲ）在∠ACB的角平分線上是否存在點(diǎn)F，使得DF∥平面ABE？若存在，求DF的長；若不存在，請說明理由

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AE⊥CD；結(jié)合AC⊥BC，AD⊥BC，推出BC⊥平面ACD．得到AE⊥BC；證明AE⊥平面BCD，即可推出平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）利用V_E-ABC=V_B-ACE，結(jié)合BC是三棱錐的高，求解 ${V_{B-ACE}}=\frac{1}{3}×BC×{S_{△ACE}}=\frac{1}{12}$．
（Ⅲ）取AB中點(diǎn)O，連接CO并延長至點(diǎn)F，使CO=OF，連接AF，DF，BF．說明射線CO是角∠ACB的角分線．正面OE∥DF，推出DF∥平面ABE．然后最后求解DF即可．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，有AD=BC=AC，又因?yàn)镋為側(cè)棱DC的中點(diǎn)，
所以AE⊥CD；
又因?yàn)锳C⊥BC，AD⊥BC，且AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD．
又因?yàn)锳E?平面ACD，所以AE⊥BC；
因?yàn)锽C∩CD=C，
所以AE⊥平面BCD，
又因?yàn)锳E?平面ABE，
所以平面ABE⊥平面BCD．…（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)閂_E-ABC=V_B-ACE，BC⊥平面ACD，所以BC是三棱錐的高，
故${V_{B-ACE}}=\frac{1}{3}×BC×{S_{△ACE}}$，
又因?yàn)锽C=1，$CD=\sqrt{2}$，$AE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}×AE×\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{4}$，
所以有 ${V_{B-ACE}}=\frac{1}{3}×BC×{S_{△ACE}}=\frac{1}{12}$…（9分）
（Ⅲ）解：取AB中點(diǎn)O，連接CO并延長至點(diǎn)F，使CO=OF，連接AF，DF，BF．
因?yàn)锽C=AC，所以射線CO是角∠ACB的角分線．

又因?yàn)辄c(diǎn)E是的CD中點(diǎn)，所以O(shè)E∥DF，
因?yàn)镺E?平面ABE，DF?平面ABE，
所以DF∥平面ABE．
因?yàn)锳B、FC互相平分，
故四邊形ACBF為平行四邊形，有BC∥AF．
又因?yàn)镈A⊥BC，所以有AF⊥AD，
又因?yàn)锳F=AD=1，故$DF=\sqrt{2}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面，平面與平面垂直以及平行的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，幾何體的體積的求法，空間距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．