Question

【題目】在①，且，②，且，③，且這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的存在，求出和數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足________，是否存在，使得數(shù)列成為等差數(shù)列？

Answer 1

【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析

【解析】

由，用換后得，兩式相減得，若選擇①，由可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及值，前項(xiàng)和；若選擇②，由得和的關(guān)系式，作為關(guān)于的二次方程，至少有正根，由根的分布得其條件是，得出與已知矛盾的結(jié)論，說(shuō)明不存在；若選擇③，由，同樣可求和．

解：選擇①，

因?yàn)?/span>，所以，兩式相減，得

，

即，又，所以，

因?yàn)?/span>，且，所以，

由，得，即，

把代入上式，得，

當(dāng)時(shí)，由及，得，

所以，，滿(mǎn)足，可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.

數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

數(shù)列的前項(xiàng)和為.

選擇②，

因?yàn)?/span>，所以，兩式相減，得

，

即，又，所以，

由，得，即，

因?yàn)橐阎獢?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，

因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程至少存在一個(gè)正實(shí)數(shù)解的充要條件是

，

解得，

這與已知條件矛盾，所以滿(mǎn)足條件的不存在.

（注：若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)解分別為，，則，，

當(dāng)時(shí)，的解一正一負(fù)；當(dāng)時(shí)，的解一正一零；

當(dāng)時(shí)，的解均為正.

所以方程至少存在一個(gè)正實(shí)數(shù)解，當(dāng)且僅當(dāng).）

選擇③，因?yàn)?/span>，所以，兩式相減，得

，

即，又，所以，

由，得，又已知，

所以，，

由，得，，所以，

當(dāng)時(shí)，由及得，

由，及，得，

所以和滿(mǎn)足，

可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

數(shù)列的前項(xiàng)和為.