Question

20．若x∈[1，2]，y∈[2，3]時，$\frac{a{x}^{2}+2{y}^{2}}{xy}$-1＞0恒成立，則a的取值范圍（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，判斷對稱軸求出函數(shù)在區(qū)間上最值即可得到結(jié)論．

解答 解：若x∈[1，2]，y∈[2，3]時，$\frac{a{x}^{2}+2{y}^{2}}{xy}$-1＞0恒成立，
則ax²+2y²＞xy，
即ax²＞xy-2y²，
即a＞$\frac{xy-2{y}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{y}{x}$-2（$\frac{y}{x}$）²，
設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則a＞t-2t²，
∵x∈[1，2]，y∈[2，3]，
∴$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，則t=$\frac{y}{x}$∈[1，3]，
設(shè)f（t）=t-2t²，t∈[1，3]，
則f（t）=t-2t²，的對稱軸為t=$\frac{1}{4}$，
則函數(shù)在[1，3]上為減函數(shù)，
∴當t=1時，函數(shù)取得最大值f（1）=1-2=-1，
則a＞-1，
即實數(shù)a的取值范圍是（-1，+∞），
故選：A．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法結(jié)合換元法進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．