6.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AC=2BC,∠ACB=90°.
(Ⅰ)求證:AC1⊥A1B;
(Ⅱ)求直線AB與平面A1BC所成角的正切值.

分析 (I)先證BC⊥平面ACC1A1得BC⊥AC1,由四邊形ACC1A1為正方形得出AC1⊥A1C,故而AC1⊥平面A1BC,于是AC1⊥A1B;
(II)由AC1⊥平面A1BC可知∠ABO是直線AB與平面A1BC所成的角,設(shè)BC=a,利用勾股定理求出OA,OB即可得出tan∠ABO.

解答 證明(Ⅰ)∵CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴CC1⊥BC
又∠ACB=90°,即BC⊥AC,又AC∩CC1=C,
∴BC⊥平面A1C1CA,又AC1?平面A1C1CA,
∴AC1⊥BC.
∵AA1=AC,∴四邊形A1C1CA為正方形,
∴AC1⊥A1C,又AC1∩BC=C,
∴AC1⊥平面A1BC,又A1B?平面A1BC,
∴AC1⊥A1B.
解(Ⅱ)設(shè)AC1∩A1C=O,連接BO.
由(Ⅰ)得AC1⊥平面A1BC,
∴∠ABO是直線AB與平面A1BC所成的角.
設(shè)BC=a,則AA1=AC=2a,∴$AO=\frac{1}{2}A{C_1}=\sqrt{2}a$,$BO=\sqrt{{a^2}+2{a^2}}=\sqrt{3}a$,
在Rt△ABO中,$tan∠ABO=\frac{AO}{BO}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
∴直線AB與平面A1BC所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.

點評 本題考查了線面垂直的判斷與性質(zhì),線面角的計算,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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利用時間充分利用時間不充分總計
走讀生50
住宿生10
總計60100
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
參考列表:

P(K2≥k0
0.500.400.250.150.100.050.025

k0
0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024
(Ⅱ)若在第①組、第②組、第③組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因,記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

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