Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為：

x=4cosφ y=3sinφ

（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ
（1）去曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)M是曲線C₁上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是曲線C₂上任意一點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）直接根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式求解即可；
（2）利用已知，得到|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，然后，得到|MC₂|²=（4cosφ-1）²+9sin²φ=7cos²φ-8cosφ+10，借助于三角函數(shù)的取值情況進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）由ρ=2cosθ，得
ρ²=2ρcosθ，
∴x²+y²=2x，
∴（x-1）²+y²=1，
（2）設(shè)點(diǎn)M（4cosφ，3sinφ），則
|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，
|MC₂|²=（4cosφ-1）²+9sin²φ=7cos²φ-8cosφ+10，
當(dāng)cosφ=-1時，得|MC₂|²_max=25，|MC₂|_max=5，
當(dāng)cosφ=

4

7

時，得|MC₂|²_min=

54

7

，|MC₂|_min=

3 42

7

，
∴

3 42

7

-1≤|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1≤5+1，
∴|MN|的取值范圍[

3 42

7

-1，6]．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式、距離問題處理思路和方法等知識，屬于中檔題．