如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足為E．

(Ⅰ)求證BD⊥A1C．

(Ⅱ)求二面角A1－BD－C1的大�。�

(Ⅲ)求異面直線AD與BC1所成角的大�。�

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，

　　∵A1A⊥底面ABCD，

　　∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，

　　∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C．

　　(Ⅱ)連結(jié)A1E、C1E、A1C1．

　　與(Ⅰ)同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1是二面角A1－BD－C1的平面角．

　　∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1＝∠ADC＝90°，

　　又A1D1＝AD＝2，D1C1＝DC＝，AA1＝，且AC⊥BD，

　　∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝，

　　在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，即二面角A1－BD－C1的大小為90°．

　　(Ⅲ)過B作BF∥AD交AC于F，連結(jié)FC1，則∠C1BF就是AD與BC1所成的角．

　　∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF＝2，EF＝1，F(xiàn)C＝2，BC＝DC，

　　∴FC1＝，BC1＝．在△BFC1中，cosC1BF＝＝．

　　∴∠C1BF＝arccos．即異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos．


提示：

　　(Ⅰ)應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理．

　　(Ⅱ)容易證明∠A1EC1是所求二面角．

　　(Ⅲ)平移法求異面直線所成角．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．證明：
（1）EE1∥平面FCC1．
（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)．
（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A1BC1；
（2）求證：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)．
（1）證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）求二面角B-FC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，∠ABC=60°，BB1=BC=2，M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在CC1上．
（1）試確定點(diǎn)N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當(dāng)AB1⊥MN時(shí)，求二面角M-AB1-N的正切值．

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