Question

若n∈N^*，（a_n，b_n∈N^*）．
（1）求a₄+b₄的值；
（2）證明：；
（3）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)．試證：當(dāng)n為偶數(shù)時，．當(dāng)n為奇數(shù)時，上述結(jié)果是否依然成立？如果不成立，請用b_n表示（不必證明）

Answer 1

解：（1）(1+√2)⁴={C}{⁰_{4}}+{C}{¹_{4}}•√2+{C}{²_{4}}(√2)²+{C}{³_{4}}(√2)³+{C}{⁴_{4}}(√2)⁴=12√2+17，所以a₄=12，b₄=17，a₄+b₄=29．　　　　　　　　　　　　　　　 …（3分）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，(1+√2)^{n}={C}{⁰_{n}}+{C}{¹_{n}}•√2+{C}{²_{n}}(√2)²+…+{C}{^{n}_{n}}(√2)^{n}，b_{n}={C}{⁰_{n}}+{C}{²_{n}}(√2)²+{C}{⁴_{n}}(√2)⁴+…+{C}{^{n}_{n}}(√2)^{n}，而(1-√2)^{n}={C}{⁰_{n}}+{C}{¹_{n}}•(-√2)+{C}{²_{n}}(-√2)²+…+{C}{^{n}_{n}}(-√2)^{n}，(1+√2)^{n}+(1-√2)^{n}=2[{C}{⁰_{n}}+{C}{²_{n}}(√2)²+{C}{⁴_{n}}(√2)⁴+…+{C}{^{n}_{n}}(√2)^{n}]，所以b_{n}=(1+√2)^{n}+(1-√2)^{n}/2成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（6分）當(dāng)n為奇數(shù)時，(1+√2)^{n}={C}{⁰_{n}}+{C}{¹_{n}}•√2+{C}{²_{n}}(√2)²+…+{C}{^{n}_{n}}(√2)^{n}，b_{n}={C}{⁰_{n}}+{C}{²_{n}}(√2)²+{C}{⁴_{n}}(√2)⁴+…+{C}{^{n-1}_{n-1}}(√2)^{n-1}，而(1-√2)^{n}={C}{⁰_{n}}+{C}{¹_{n}}•(-√2)+{C}{²_{n}}(-√2)²+…+{C}{^{n}_{n}}(-√2)^{n}，(1+√2)^{n}+(1-√2)^{n}=2[{C}{⁰_{n}}+{C}{²_{n}}(√2)²+{C}{⁴_{n}}(√2)⁴+…+{C}{^{n-1}_{n-1}}(√2)^{n-1}]，所以b_{n}=(1+√2)^{n}+(1-√2)^{n}/2成立．　　　　　　　　　　　　　　　　…（9分）（3）由（2）可得2b_{n}=(1+√2)^{n}+(1-√2)^{n}是正整數(shù)，-1＜1-√2＜0，所以當(dāng)n為偶數(shù)時，0＜(1-√2)^{n}＜1，…（12分）則有2b_{n}-1＜(1+√2)^{n}＜2b_{n}，所以2b_n-1是不超過(1+√2)^{n}的最大整數(shù)，[(1+√2)^{n}]=2b_{n}-1．　　 …（14分）當(dāng)n為奇數(shù)時，[(1+√2)^{n}]=2b_{n}．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（16分）