【題目】已知函數(shù),

()時,證明:;

()的圖象與的圖象是否存在公切線(公切線:同時與兩條曲線相切的直線)?如果存在,有幾條公切線,請證明你的結論.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)曲線yfx),ygx)公切線的條數(shù)是2條,證明見解析

【解析】

(Ⅰ)當x0時,設hx)=gx)﹣xlnxx,設lx)=fx)﹣xexx,分別求得導數(shù)和單調性、最值,即可得證;

(Ⅱ)先確定曲線yfx),ygx)公切線的條數(shù),設出切點坐標并求出兩個函數(shù)導數(shù),根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出方程組,先化簡方程得lnm1.分別作出ylnx1y的函數(shù)圖象,通過圖象的交點個數(shù)來判斷方程的解的個數(shù),即可得到所求結論.

(Ⅰ)當x0時,設hx)=gx)﹣xlnxx

hx1,當x1時,hx)<0,hx)遞減;0x1時,hx)>0,hx)遞增;

可得hx)在x1處取得最大值﹣1,可得hx10

lx)=fx)﹣xexx,

lx)=ex1,當x0時,lx)>0lx)遞增;

可得lx)>l0)=10,

綜上可得當x0時,gx)<xfx);

(Ⅱ)曲線yfx),ygx)公切線的條數(shù)是2,證明如下:

設公切線與gx)=lnxfx)=ex的切點分別為(m,lnm),(n,en),mn,

gx,fx)=ex

可得,化簡得(m1lnmm+1

m1時,(m1lnmm+1不成立;

m≠1時,(m1lnmm+1化為lnm,

lnx1,即lnx1

分別作出ylnx1y的函數(shù)圖象,

由圖象可知:ylnx1y的函數(shù)圖象有兩個交點,

可得方程lnm有兩個實根,

則曲線yfx),ygx)公切線的條數(shù)是2條.

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