Question

10．求方程x²+ax+1=0的兩實(shí)根的平方和大于3的充要條件并證明．

Answer 1

分析 方程x²+ax+1=0的兩實(shí)根的平方和大于3的充要條件是：|a|＞$\sqrt{5}$，根據(jù)充要條件的定義，可證得結(jié)論．

解答 解：方程x²+ax+1=0的兩實(shí)根的平方和大于3的充要條件是：|a|＞$\sqrt{5}$，
理由如下：
設(shè)方程x²+ax+1=0的兩根是x₁，x₂，該方程兩根的平方和大于3則：
$\left\{\begin{array}{l}{△=a}^{2}-4≥0\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={a}^{2}-2＞3\end{array}\right.$，
解得|a|＞$\sqrt{5}$；
當(dāng)|a|＞$\sqrt{5}$時(shí)，方程x²+ax+1=0的△=a²-4＞0，
且${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={a}^{2}-2＞3$，
綜上所述，方程x²+ax+1=0的兩實(shí)根的平方和大于3的充要條件是：|a|＞$\sqrt{5}$

點(diǎn)評(píng) 考查一元二次方程的根和判別式的關(guān)系，韋達(dá)定理，充分條件、必要條件、必要不充分條件的概念