Question

已知點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)P（x，y）代入，整理可求
（II）將A（m，2）代入y²=4x可求m=1，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，整理得y²-4my-4t=0，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，而=0，代入可求
解答：解：（I）設(shè)．（4分）
（II）將A（m，2）代入y²=4x得m=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．（5分）
設(shè)直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，得y²-4my-4t=0，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，△=（-4m）²+16t＞0（*）（6分）
∴===
即t²-6t+9=4m²+8m+4即（t-3）²=4（m+1）²
∴t-3=±2（m+1）
∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式檢驗(yàn)知只有t=2m+5滿足△＞0（7分）
∴直線DE的方程為x=m（y+2）+5
∴直線DE過(guò)定點(diǎn)（5，-2）（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要查了平面向量的數(shù)量積的基本運(yùn)算，圓錐曲線的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要具備一定的推理運(yùn)算能力．