Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+2，函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+3）^{2}+1，x＜0}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+1，x≥0}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的實(shí)根個(gè)數(shù)取得最大值時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{5}{4}$]
• B． （1，$\frac{5}{4}$）
• C． [1，$\frac{5}{4}$]
• D． [0，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)t=f（x），則g（t）=a分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)a的取值確定t的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）
設(shè)t=f（x），則g（t）=a，（a＞0）
由y=g（t）的圖象知，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程g（t）=a有兩個(gè)根-4＜t₁＜-3，或-4＜t₂＜-2，
由t=f（x）的圖象知，當(dāng)-4＜t₁＜-3時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
當(dāng)-4＜t₂＜-2時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
此時(shí)方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0個(gè)根，
②當(dāng)a=1時(shí)，方程g（t）=a有兩個(gè)根t₁=-3，或t₂=$\frac{1}{2}$，
由t=f（x）的圖象知，當(dāng)t₁=-3時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
當(dāng)t₂=$\frac{1}{2}$時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
此時(shí)方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3個(gè)根，
③當(dāng)1＜a＜$\frac{5}{4}$時(shí)，方程g（t）=a有兩個(gè)根0＜t₁＜$\frac{1}{2}$，或$\frac{1}{2}$＜t₂＜1，
由t=f（x）的圖象知，當(dāng)0＜t₁＜$\frac{1}{2}$時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜t₂＜1時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
此時(shí)方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6個(gè)根，
④當(dāng)a=$\frac{5}{4}$時(shí)，方程g（t）=a有兩個(gè)根t₁=0，或t₂=1，
由t=f（x）的圖象知，當(dāng)t₁=0時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
當(dāng)t₂=1時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
此時(shí)方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6個(gè)根
⑤當(dāng)a＞$\frac{5}{4}$時(shí)，方程g（t）=a有1個(gè)根t₁＞1，
由t=f（x）的圖象知，當(dāng)t₁＞1$\frac{1}{2}$時(shí)，t=f（x）有3或2個(gè)或1個(gè)根，
此時(shí)方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3或2個(gè)或1個(gè)根，
綜上方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的實(shí)根最多有6個(gè)根，
當(dāng)方程的實(shí)根為6個(gè)時(shí)，對應(yīng)的1＜a≤$\frac{5}{4}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，$\frac{5}{4}$]
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查根的個(gè)數(shù)的判斷，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．