Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•cosnπ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和P_n；
（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)S_n=2a_n+n²-3n-2可得到S_n+1的表達(dá)式S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2，兩式相減可得到a_n+1=2a_n-2n+2整理可得a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），即數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列．
（2）先根據(jù)數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列求出a_n的表達(dá)式，再對(duì)n分奇偶數(shù)討論可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和P_n．
（3）將a_n的表達(dá)式代入到中求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)滿足，然后當(dāng)n≥2時(shí)對(duì)進(jìn)行放縮可得到Tn=得證．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴{a_n-2n}是以2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^n-1+2（n-1）]+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Pn=．
綜上，；
（Ⅲ）．
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=
當(dāng)n≥2時(shí)，

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綜上可知：任意n∈N，．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式、求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考查數(shù)列前n項(xiàng)和的不等式的證明．