【題目】已知函數(shù)（）．　

（Ⅰ）試判斷函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求整數(shù)的最大值.

（可能要用的數(shù)據(jù)： ， ， ）.

【答案】（1）見解析（2）6

【解析】試題分析: （1）對函數(shù)求導,由在恒成立,則在上為增函數(shù)，由， 可判斷出函數(shù)有唯一零點; （2）對函數(shù)求導,分離參變量, 在上恒成立，構造新函數(shù)求導,由（1）可知,a小于等于在區(qū)間上的最小值,根據(jù)函數(shù)的單調性,求得函數(shù)最小值的取值范圍,即可取得整數(shù)a的最大值.

試題解析:解：（Ⅰ） 在上為增函數(shù)，

且，故在上為增函數(shù)，

又， ，

則函數(shù)在上有唯一零點.

（Ⅱ）在上恒成立，

當時顯然成立,

當時，可得在上恒成立，

令，則， ，

，

由（Ⅰ）可知： 在上為增函數(shù)，故在上有唯一零點，

則在區(qū)間上為減函數(shù)，

在區(qū)間上為增函數(shù)，

故時， 有最小值， .

又，

，

則，

有，

所以， ，

令，則最小值

，

因，則的最小值大約在之間，

故整數(shù)的最大值為6.

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