Question

湘西山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運(yùn)輸?shù)脑�因，長期只能在當(dāng)?shù)劁N售，當(dāng)?shù)卣�府對該�?xiàng)特產(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P=-

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(x-40)2+100萬元．當(dāng)?shù)卣�府�(dāng)M在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項(xiàng)目每年都投入60萬元的銷售投資，在未來10年的前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，5年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的5年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q=-

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160

(60-x)2+

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2

(60-x)萬元．問從10年的累積利潤看，該規(guī)劃方案是否可行？

Answer 1

分析：由已知中每投入x萬元，可獲得利潤P=-

1

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(x-40)2+100萬元，可知每年只須投入40萬，可獲得最大利潤100萬元，進(jìn)而求出10年的總利潤W₁，又由前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，由在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q=-

159

160

(60-x)2+

119

2

(60-x)萬元，則我們可得前5年的本地銷售利潤和，及外地銷售利潤和，累加后與W₁相比較，即可判斷出該規(guī)劃方案是否可行．

解答：解：在實(shí)施規(guī)劃前，由題設(shè)P=-

1

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(x-40)2+100（萬元），
知每年只須投入40萬，即可獲得最大利潤100萬元．
則10年的總利潤為W₁=100×10=1000（萬元）．            
實(shí)施規(guī)劃后的前5年中，
由題設(shè)P=-

1

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(x-40)2+100知，每年投入30萬元時(shí)，有最大利潤Pmax=

795

8

（萬元）．
前5年的利潤和為

795

8

×5=

3975

8

（萬元）．                       （6分）
設(shè)在公路通車的后5年中，每年用x萬元投資于本地的銷售，而用剩下的（60-x）萬元于外地區(qū)的銷售投資，則其總利潤為W2=[-

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(x-40)2+100]×5+(-

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x2+

119

2

x)×5=-5（x-30）²+4950．  （10分）
當(dāng)x=30時(shí)，W₂|_max=4950（萬元）．
從而10年的總利潤為

3975

8

+4950（萬元）．                       （12分）
∵

3975

8

+4950＞1000，故該規(guī)劃方案有極大實(shí)施價(jià)值．             （13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，其中將該規(guī)劃方案是否可行轉(zhuǎn)化為兩種投資方式的利潤之比，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的比較，是解答本題的關(guān)鍵．