【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為),上一點(diǎn),以為邊作等邊三角形,且、三點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)若曲線 ,經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線,試判斷點(diǎn)的軌跡與曲線是否有交點(diǎn),如果有,請(qǐng)求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),沒(méi)有則說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:考慮到 點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為點(diǎn)代入直線的極坐標(biāo)方程中得到關(guān)于的方程即為點(diǎn)的極坐標(biāo)方程,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程.2)將曲線的普通方程與直線普通方程聯(lián)立 故必有兩個(gè)交點(diǎn).

試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

則由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,

再由點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于, ,

可得,

可得

故當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程為

(Ⅱ)曲線 ,

,即,代入,即,

聯(lián)立點(diǎn)的軌跡方程,消去,

有交點(diǎn),坐標(biāo)分別為

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①求四邊形的面積的最小值;

②試問(wèn):直線是否恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn),若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)證明: 為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)).

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