【題目】在平面直角坐標(biāo)平面中, 的兩個(gè)頂點(diǎn)為,平面內(nèi)兩點(diǎn)、同時(shí)滿足:①;②;③.
(1)求頂點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,直線與點(diǎn)的軌跡相交弦分別為,設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.
①求四邊形的面積的最小值;
②試問:直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn),若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)①的最小值的,②直線恒過定點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)由可得為的重心,設(shè),則,再由,可得為的外心, 在軸上,再由∥,可得,結(jié)合即可求得頂點(diǎn)的軌跡的方程;(2)恰為的右焦點(diǎn).當(dāng)直線, 的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得的縱坐標(biāo)得到和與積.①根據(jù)焦半徑公式得、,代入四邊形面積公式,再由基本不等式求得四邊形面積的最小值;②根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的坐標(biāo),得到直線的方程,化簡(jiǎn)整理令解得值,可得直線恒過定點(diǎn);當(dāng)直線, 有一條直線的斜率不存在時(shí),另一條直線的斜率為0,直線即為軸,過點(diǎn)(.
試題解析:(1)∵
∴由①知
∴為的重心
設(shè),則,由②知是的外心
∴在軸上由③知,由,得,化簡(jiǎn)整理得: .
(2)解: 恰為的右焦點(diǎn),
①當(dāng)直線的斜率存且不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,
由,
設(shè)則,
①根據(jù)焦半徑公式得,
又,
所以,同理,
則,
當(dāng),即時(shí)取等號(hào).
②根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,同理可求得,
則直線的斜率為,
∴直線的方程為,
整理化簡(jiǎn)得,
令,解得
∴直線恒過定點(diǎn),
②當(dāng)直線有一條直線斜率不存在時(shí),另一條斜率一定為0,直線即為軸,過點(diǎn),
綜上, 的最小值的,直線恒過定點(diǎn).
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(2)設(shè),若有兩個(gè)極值點(diǎn),且不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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(2)若數(shù)列{bn}滿足bn= ,是否存在非零實(shí)數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出c的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】在一條生產(chǎn)線上按同樣的方式每隔30分鐘取一件產(chǎn)品,共取了n件,測(cè)得其產(chǎn)品尺寸后,畫得其頻率分布直方圖如圖所示,已知尺寸在[15,45)內(nèi)的頻數(shù)為46.
(1)該抽樣方法是什么方法?
(2)求n的值;
(3)求尺寸在[20,25)內(nèi)的產(chǎn)品的件數(shù).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn), 在曲線上,求的值.
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【題目】某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是:4km以內(nèi)(含4km)10元,超過4km且不超過18km的部分1.2元/km,超過18km的部分1.8元/km,不計(jì)等待時(shí)間的費(fèi)用.
(1)如果某人乘車行駛了10km,他要付多少車費(fèi)?
(2)試建立車費(fèi)y(元)與行車?yán)锍蘹(km)的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)證明f(x)是奇函數(shù);
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并用定義證明
(3)求f(x)在[1,2]上的最值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(),為上一點(diǎn),以為邊作等邊三角形,且、、三點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線: ,經(jīng)過伸縮變換得到曲線,試判斷點(diǎn)的軌跡與曲線是否有交點(diǎn),如果有,請(qǐng)求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),沒有則說明理由.
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A. B. C. D.
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