Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃+a₆=-$\frac{1}{3}$，a₁a₈=-$\frac{4}{3}$且a₁＞a₈．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的第1項(xiàng)、第4項(xiàng)、第7項(xiàng)、…、第3n-2項(xiàng)、…分別作為數(shù)列{b_n}的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、…、第n項(xiàng)、…，求數(shù)列{2${\;}^{_{n}}$}的所有項(xiàng)之和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃+a₆=-$\frac{1}{3}$=a₁a₈，a₁a₈=-$\frac{4}{3}$且a₁＞a₈．
解得：a₁=1，a₈=-$\frac{4}{3}$，公差d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{1}}{7}$=-$\frac{1}{3}$．
∴a_n=1-$\frac{1}{3}$（n-1）=-$\frac{1}{3}$n+$\frac{4}{3}$．
（2）b₁=a₁=1，b₂=a₄=0，
∴b_n=a_3n-2=-$\frac{1}{3}（3n-2）$+$\frac{4}{3}$=-n+2，
∴$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=$\frac{{2}^{-（n+1）+2}}{{2}^{-n+2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\{{2}^{_{n}}\}$是首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$\{{2}^{_{n}}\}$的所有項(xiàng)的和為$\frac{2}{1-\frac{1}{2}}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．