Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-xlna，其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a＞1，求函數(shù)f（x）在〔-1，1〕上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）對(duì)a分類討論，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出；
（II）利用（I）d的結(jié)論即可得出．

解答： 解：（I）①當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
當(dāng)x＞0時(shí)，a^x＞1，∴f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜a^x＜1，∴f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
當(dāng)x＞0時(shí)，0＜a^x＜1，∴f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，a^x＞1，∴f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（II）當(dāng)a＞1時(shí)，由（I）可知：函數(shù)f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（0）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．