Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+x+1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，給出如下四個(gè)命題：
（1）f（x）在[

2

，+∞）上是減函數(shù)   
（2）f（x）的最大值是2
（3）函數(shù)y=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)   
（4）f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立
其中正確命題有

 

．（把正確命題序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對(duì)原函數(shù)分段求導(dǎo)，由函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，并求得函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的取值情況，然后逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．

解答： 解：由f（x）=

ex+x+1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，得
f′(x)=

ex+1(x＜0) -x2+2(x≥0)

，
對(duì)于（1），當(dāng)x≥

2

時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在[

2

，+∞）上是減函數(shù)．命題（1）正確；
對(duì)于（2），當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)0≤x≤

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
又f（

2

）=-

1

3

×(

2

)3+2

2

=

4 2

3

．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（-∞，2）．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）∈（-∞，

4 2

3

]．
∴f（x）在定義域內(nèi)的最大值為

4 2

3

，命題（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3），∵f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在[0，

2

）上為增函數(shù)，在（

2

，+∞）上為減函數(shù)，又f（0）=0，結(jié)合（2）可知函數(shù)y=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．命題（3）正確；
對(duì)于（4），由（2）可知f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立錯(cuò)誤．
∴正確的命題有（1）（3）．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其最值，考查了函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．