【題目】已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,函數(shù) .
(Ⅰ)若,且關(guān)于的方程有且僅有一個解,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)當時,若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】試題分析: ∵函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,∴,
∴
(Ⅰ)令,則,即
令,利用導數(shù)研究 的性質(zhì),可得,
又, , 所以當函數(shù)有且僅有一個零點時, .
(Ⅱ)當時,由(Ⅰ)知,
利用導數(shù)研究 的性質(zhì),可得是的極大值點.
∵
∴,即可求出實數(shù)的取值范圍.
試題解析:∵函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,∴,
∴
(Ⅰ)令,則,即
令,則,
令,則.
因為,所以 所以在上是減函數(shù),
又,所以當時, ,當時, .
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,
又, ,
所以當函數(shù)有且僅有一個零點時, ,∴.
(Ⅱ)當時,由(Ⅰ)知,
易知,當時, 恒成立,等價于.
因為,令得,或
又,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即是的極大值點.
∵
∴,即為所求.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè),試討論單調(diào)性;
(2)設(shè),當時,任意,存在,使,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了讓學生了解環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”,共有900名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計.請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖,解答下列問題:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
50.5~60.5 | 4 | 0.08 |
60.5~70.5 | 0.16 | |
70.5~80.5 | 10 | |
80.5~90.5 | 16 | 0.32 |
90.5~100.5 | ||
合計 | 50 |
(Ⅰ)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi));
(Ⅱ)補全頻數(shù)條形圖;
(Ⅲ)若成績在75.5~85.5分的學生為二等獎,問獲得二等獎的學生約為多少人?
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【題目】已知四棱錐,底面為正方形,且底面,過的平面與側(cè)面的交線為,且滿足(表示的面積).
(1)證明: 平面;
(2)當時,二面角的余弦值為,求的值.
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【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以,, ,,,分組的頻率分布直方圖如圖示.
(Ⅰ)求直方圖中的值;
(Ⅱ)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)在月平均用電量為,,的三組用戶中,用分層抽樣的方法抽取10戶居民,則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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【題目】編號分別為的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下:
運動員編號 | ||||||||
得分 | 15 | 35 | 21 | 28 | 25 | 36 | 18 | 34 |
運動員編號 | ||||||||
得分 | 17 | 26 | 25 | 33 | 22 | 12 | 31 | 38 |
(1)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:
區(qū)間 | [10,20) | [20,30) | [30,40] |
人數(shù) |
(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人.
(ⅰ)用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果;
(ⅱ)求這2人得分之和大于50的概率.
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【題目】隨著共享單車的成功運營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨機抽取1000人對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進行了問卷調(diào)查,并對參與調(diào)查的1000人中的性別以及意見進行了分類,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
男 | 女 | 總計 | |
認為共享產(chǎn)品對生活有益 | 400 | 300 | 700 |
認為共享產(chǎn)品對生活無益 | 100 | 200 | 300 |
總計 | 500 | 500 | 1000 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系?
(2)為了答謝參與問卷調(diào)查的人員,該公司對參與本次問卷調(diào)查的人員隨機發(fā)放1張超市的購物券,購物券金額以及發(fā)放的概率如下:
購物券金額 | 20元 | 50元 |
概率 |
現(xiàn)有甲、乙兩人領(lǐng)取了購物券,記兩人領(lǐng)取的購物券的總金額為,求的分布列和數(shù)學期望.
參考公式: .
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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