【題目】已知函數(shù).

（1）設，試討論單調(diào)性；

（2）設，當時，任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）當時，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；（2）.

【解析】

試題（1）先求出的導數(shù)，，然后在的范圍內(nèi)討論的大小以確定和的解集；（2）時，代入結(jié)合上問可知函數(shù)在在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即在取最小值，若，存在，使，即存在使得.從而得出實數(shù)的取值范圍.注意不能用基本不等式，因為等號取不到，實際上為減函數(shù).所以其值域為，從而，即有.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，

因為，所以，

令，可得，，2分

①當時，由可得，故此時函數(shù)在上是增函數(shù).

同樣可得在和上是減函數(shù). 4分

②當時，恒成立，故此時函數(shù)在上是減函數(shù). 6分

③當時，由可得，故此時函數(shù)在上是增函數(shù)，

在和上是減函數(shù)； 8分

（2）當時，由（1）可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以對任意的，有，

由條件存在，使，所以， 12分

即存在，使得，

即在時有解,

亦即在時有解,

由于為減函數(shù)，故其值域為，

從而，即有，所以實數(shù)的取值范圍是. 16分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】北京時間3月15日下午，谷歌圍棋人工智能與韓國棋手李世石進行最后一輪較量， 獲得本場比賽勝利，最終人機大戰(zhàn)總比分定格.人機大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關注，某學校社團為調(diào)查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.

（Ⅰ）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認為“圍棋迷”與性別有關？

非圍棋迷

圍棋迷

合計

男

女

10

55

合計

（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量學生中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名學生，抽取3次，記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的平均值和方差.

附： ，其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為，以為圓心且與拋物線準線相切的圓恰好過原點.點是與軸的交點， 兩點在拋物線上且直線過點，過點及的直線交拋物線于點.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：直線過一定點，并求出該點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）是否存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最大值為？若存在，取實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某超市在元旦期間開展優(yōu)惠酬賓活動，凡購物滿100元可抽獎一次，滿200元可抽獎兩次…依此類推．抽獎箱中有7個白球和3個紅球，其中3個紅球上分別標有10元，10元，20元字樣．每次抽獎要從抽獎箱中有放回地任摸一個球，若摸到紅球，根據(jù)球上標注金額獎勵現(xiàn)金；若摸到白球，沒有任何獎勵．

（Ⅰ）一次抽獎中，已知摸中了紅球，求獲得20元獎勵的概率；

（Ⅱ）小明有兩次抽獎機會，用表示他兩次抽獎獲得的現(xiàn)金總額，寫出的分布列與數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，面.

(1)求四棱錐S-ABCD的體積;

(2)求證：面

(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列的公比，前n項和為.若，且是與的等差中項.

（1）求；

（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前2019項和；

（3）設，問數(shù)列中是否存在三項，它們可以構成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點.

（1）求橢圓方程；

（2）過點的直線與橢圓交于兩個不同的點，求線段的垂直平分線在軸截距的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關于直線對稱，函數(shù) .

（Ⅰ）若，且關于的方程有且僅有一個解，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）當時，若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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