已知橢圓的左、右焦點分別是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足，點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足，。

（1）設(shè)x為點P的橫坐標(biāo)，證明；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F1MF2的面積S=b2。若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由。
解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為
由P在橢圓上，得
 =

由，知
所以=。
（2）設(shè)點T的坐標(biāo)為
當(dāng)=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上
當(dāng)||≠0且時，由得
又
所以T為線段F2Q的中點
在△QF1F2中，
所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是。
（3）C上存在點M（x0，y0）使S=b2的充要條件是

由③得
由④得
所以當(dāng)時，存在點M，使S=
當(dāng)時，不存在滿足條件的點M。
當(dāng)時，
由


得。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為，其右準(zhǔn)線上上存在點（點在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期假期檢測考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年云南省德宏州高三高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，右準(zhǔn)線方程為．

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線的方程．

 

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