Question

已知函數f（x）=e^x-ln（x+1）-1（x≥0），
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若0≤y＜x，求證：e^x-y-1＞ln（x+1）-ln（y+1）

Answer 1

解：（1）f′（x）=，…（2分）
當x≥0時，，所以當x≥0時，f′（x）≥0，
則函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）的最小值f（0）=0；…（5分）
（2）由（1）知，當x＞0時，f（x）＞0，
∵x＞y，
∴f（x-y）=e^x-y-ln（x-y+1）-1＞0，e^x-y-1＞ln（x-y+1）①…（7分）
∵，
∴l(xiāng)n（x-y+1）≥ln（x+1）-ln（y+1）②…（10分）
由①②得 e^x-y-1＞ln（x+1）-ln（y+1）…（12分）
分析：（1）先求導函數，確定函數在定義域內的單調性，從而可求函數f（x）的最小值；
（2）利用（1）的結論，當x＞0時，f（x）＞0，可得f（x-y）=e^x-y-ln（x-y+1）-1＞0，從而e^x-y-1＞ln（x-y+1）再證明ln（x-y+1）≥ln（x+1）-ln（y+1）即可．
點評：本題以函數為載體，考查函數的最值，考查導數的運用，考查不等式的證明，有一定的綜合性．